matematika peluang

Peluang Matematika

1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian 
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}

2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian 
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus : 

Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan 
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.

4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian 
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga : 

Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian 
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

Peluang Kejadian Majemuk

1. Gabungan Dua Kejadian 
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku : 

Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan  dibaca “Kejadian A dan B”

Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :

2. Kejadian-kejadian Saling Lepas 
Untuk setiap kejadian berlaku  Jika  . Sehingga Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.

3. Kejadian Bersyarat 
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika  adalah peluang terjadinya A dan B, maka  Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.

4. Teorema Bayes 
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini : 

5. Kejadian saling bebas Stokhastik 
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:

Sebaran Peluang

1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang. 
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap maka:

Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :

2. Sebaran Binom 
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Dengan P sebagai parameter dan 
Rumus ini dinyatakan sebagai:
 untuk n = 0, 1, 2, …. ,n
Dengan P sebagai parameter dan 

P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal

1. Peluang seorang anak terkena suatu penyakit adalah 0,15 . Jumlah anak dari 1000 anak yang diperkirakan tidak terkena penyakit itu adalah …..

      a. 150 orang          c. 850 orang

      b. 15 orang            d. 85 0rang

jawab :

D₁ : A = kejadian seorang anak terkena suatu penyakit

       N = 1000

D₂ : f_h(A) ….. ?

D₃ :

P(seorang anak terkena suatu penyakit) = 0,15

P( seorang anak tidak terkena suatu penyakit ) = 1 – P(seorang anak terkena penyakit)

                                                                                          = 1 – 0,15

                                                                                          = 0,85

F_h(A) = p(A) x N

            = 0,85 x 1000

            = 850

Jadi , anak yang diperkirakan tidak terkena penyakit adalah 850 orang

2.                  Pada pelemparan sebuah dadu peluang muncul mata dadu ganjil adalah...

a.      b.     c.     d.1

s={1,2,3,4,5,6}       n(s)=6

A=Muncul mata daduganjil

A={1,3,5}      n(a)= 3

P(a)= 

      = 

               jadi peluang muncul dadu bermata ganjil adalah     

3.                  Dari satu pak kartu brigde diambil kartu secara acak .peluang kartu tersebut merupakan as adalah..

a.   b.   c.    d. 

n(s)=52

A=kartu as

A={as  ,as  ,as  ,as  } n(a)=4

P(a)= 

      = 

      = 

Jadipeluang munculnya kartu as adalah 

4.                  Dari seperangkat kartu dilakukan pengambilan secara acak sebanyak 260kali dan setiap kali pengambilan kartu dikembalikan,berapa frekwensi harapan yangterambil kartu as?

a.5kali               c.40 kali

b.20kali             d.60kali

A=muncul kartu as

A={as  as  as  as  }

N=260 kali

P(a)= 

      = 

      = 

f(h)=p(a)Xn

      = x260

      =20

Jadi frekwensi harapan tersebut adalah 20

5.                  Pada pelemparan mata uang dan dadu peluang munculnya gambar dan angka 4 adalah..

s={(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5),(a,6), (g,1),(g,2),(g,3),(g,4),(g,5),(g,6)}

A=gambar dan angka4

A=(g,4)

P(a)= 

      = 

     Jadi peluang muncul angka4 dan gambar adalah 

6.                  Tiga keping mata uang logam yang sama dilempar

bersama-sama sebanyak 40 kali. Frekuensi harapan agar

munculnya 2 gambar di sebelah atas adalah ...

A. 10

B. 20

C. 25

D. 15

JAWAB :

P(dua gambar satu angka) = 1/4,  maka

Fh = P(A) x banyak percobaan

      = 1/4 x 40

      = 10 (A)

7.                  Dari 60 kali pelemparan sebuah dadu, maka frekuensi

harapan munculnya mata dadu faktor dari 6 adalah …

A. 10 kali

B. 20 kali

C. 30 kali

D. 40 kali

JAWAB :

P(faktor dari 6) =   =  maka

Fh = P(A) x banyak percobaan

      = 2/3 x 60

      = 40 (D)

8.                  Dari 900 kali percobaan lempar undi dua buah dadu

bersama-sama, frekuensi harapan muncul mata dadu

berjumlah 5 adalah …

A. 300

B. 225

C. 180

D. 100

JAWAB :

P(mata dadu berjumlah 5) = 4/36 = 1/9 maka

Fh = P(A) x banyak percobaan

      = 1/9 x 900

      = 100 (D)

9.                  Jika sebuah dadu dilempar 36 kali, maka frekuensi

harapan muncul mata dadu bilangan prima adalah …

A. 6 kali

B. 12 kali

C. 18 kali

D. 24 kali

JAWAB :

P(bilangan prima) = ½ maka

Fh = P(A) x banyak percobaan

      = ½  x 36

      = 18 (C)

10.              Sebuah kantong berisi 100 kartu yang diberi nomor 2 sampai dengan 101. Sebuah kartu diambil secara acak dari kantong itu. Tentukan peluang terambil kartu yang merupakan bilangan kuadrat ?

A. 

B. 

C. 

D. 

JAWAB :
n(S) = 100
A = kejadian terambil kartu bilangan kuadrat
= {4,9,16,25,36,49,64,81,100}
n(A)= 9

Sehingga p(A) =     =    (B)